y=│log2x│的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度b-a的最小值为

y=│log(2x)│的定义域为[a,b], 则
0<a<b.
又y=│log(2x)│的值域为[0,2],所以，一定有

a <= 1/2 <= b.

以下分3种情况讨论。

1，0< a < b = 1/2
此时，
y = |log(2x)| = -log(2x)
函数单调递减。
a = 1/200,
b - a = 1/2 - 1/200 = 99/200.

2, 0< a < 1/2 < b
此时，
当 a <= x <= 1/2时，有
y = |log(2x)| = -log(2x)
函数在[a,1/2]上单调递减。
当 1/2 < x <= b时，有
y = |log(2x)| = log(2x)
函数在(1/2,b]上单调递增。

又，
y=│log2x│的值域为[0,2],
因此，有
a = 1/200, b > 1/2
b - a > 1/2 - 1/200 = 99/200.
或者，
a < 1/2, b = 50,
b - a > 50 - 1/2 > 99/200.

3, 1/2 = a < b
此时，
y = |log(2x)| = log(2x)
函数在(1/2,b]上单调递增。

又，
y=│log2x│的值域为[0,2],
因此，有
b = 50,
b - a = 50 - 1/2 > 99/200.

综合，有
b-a的最小值为99/200。
[此时，1/200 = a < b = 1/2]